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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
h) H es la región que encierran las curvas y=cos⁡(2x),y=0y=\cos(2x), y=0 con 0≤x≤π20 \leq x \leq \frac{\pi}{2}

Respuesta

En este tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) y g(x)=0g(x) = 0

Además nos imponen dos límites de integración, x=0x=0 y x=π2x= \frac{\pi}{2}

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg 

En este caso, queremos ver si hay algún punto de intersección entre 00 y π2\frac{\pi}{2}. Planteamos la ecuación:

cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0

Sip. Esto se resuelve con todo lo que vimos en la Práctica 1 para resolver ecuaciones trigonométricas. Con lo que vimos en esa práctica, la única solución a esta ecuación en el intervalo (0, π2)(0, \frac{\pi}{2}) es x=π4x= \frac{\pi}{4}.

2) Techo y piso

En el intervalo (0, π4)→(0, \frac{\pi}{4}) \rightarrow ff es techo y gg es piso.

En el intervalo (π4, π2)→(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \rightarrow gg es techo y ff es piso. 

3) Planteamos la integral del área

A= ∫0π4(cos⁡(2x)−0) dx+ ∫π4π2(0−cos⁡(2x)) dx= ∫0π4cos⁡(2x) dx− ∫π4π2cos⁡(2x) dx =A1−A2A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(2x) - 0) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (0 - \cos(2x)) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx = A1 - A2

Resolvemos cada integral A1 y A2 por separado, así no se hace tan cuentoso:

A1

∫0π4cos⁡(2x) dx= 12sin⁡(2x)∣0π4= 12\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}

Aclaración: La primitiva de cos⁡(2x)\cos(2x) sale por sustitución!

A2

∫π4π2cos⁡(2x) dx= 12sin⁡(2x)∣π4π2=−12\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}

Por lo tanto,

A=A1−A2=  12−(− 12)=  12+  12=1A = A1 - A2 =  \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2}) =  \frac{1}{2} +  \frac{1}{2} = 1

El área encerrada es 11. 
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